Achat ou location de voiture — fonctions affines

Fonctions affines · Tableur · Lecture graphique

La grande idée

Une fonction affine $f(x) = ax + b$ modélise un coût avec une partie fixe ($b$) plus une partie proportionnelle ($ax$). Comparer deux options = comparer deux droites : la moins haute = la moins chère, et leur intersection donne le moment de bascule.

Énoncé

Un garage propose 2 options au client :

Option Achat : prix d'achat de la voiture 22 400 €. Assurance obligatoire 75 € par mois.
Option Location : 425 € par mois, assurance comprise.

Partie A

Montrer qu'avec l'option Achat la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.
Après 36 mois, calculer l'économie réalisée par le client s'il choisit l'option Location.
Le client a réalisé le tableau suivant à l'aide d'un tableur :

A B C D E F

1 Nombre de mois 12 24 36 48 60

2 Dépense en € Option Achat 23 300 24 200 25 100 26 000 26 900

3 Dépense en € Option Location

Quelle formule doit être saisie dans la cellule B3 qui, étendue jusqu'à la cellule F3, permet de compléter le tableau ?

	A	B	C	D	E	F
1	Nombre de mois	12	24	36	48	60
2	Dépense en € Option Achat	23 300	24 200	25 100	26 000	26 900
3	Dépense en € Option Location

Partie B

On note $x$ la durée écoulée en mois depuis la livraison de la voiture.

La fonction $g$ permettant de calculer la dépense correspondant à l'option Location s'écrit : $g(x) = 425x$.

Déterminer l'expression de $f(x)$ permettant de calculer la dépense correspondant à l'option Achat.
Sur le graphique on a tracé les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ des fonctions $f$ et $g$. Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de mois l'option Achat est la plus avantageuse.
[Figure : graphique avec en abscisses la durée en mois (0 à 130) et en ordonnées la dépense en euros (0 à 40 000), montrant deux droites sécantes — voir ci-dessus.]

Correction détaillée

Partie A

Prix d'achat : 22 400 €. Assurance pour 12 mois : $12 \times 75 = 900$ €.

Total : $22\,400 + 900 = \mathbf{23\,300}$ € ✓
Achat sur 36 mois : $22\,400 + 36 \times 75 = 22\,400 + 2\,700 = 25\,100$ €.

Location sur 36 mois : $36 \times 425 = 15\,300$ €.

Économie de la location : $25\,100 - 15\,300 = \mathbf{9\,800}$ €.
La dépense Location pour $n$ mois est $n \times 425$ €. La cellule B1 contient le nombre de mois (12). Donc en B3 :

=425*B1

Étendue à droite, cette formule deviendra =425*C1, =425*D1, etc.

Partie B

Au bout de $x$ mois, on dépense 22 400 € (achat) + $75x$ € (assurance), soit :

$\boxed{f(x) = 75x + 22\,400}$

C'est une fonction affine de coefficient directeur 75 et d'ordonnée à l'origine 22 400.
On lit sur le graphique que les deux droites se croisent à $x \approx 64$ mois (ordonnée $\approx 27\,000$ €).

Avant 64 mois : la droite Location ($\mathcal{C}_g$, en rouge) est en-dessous → la location est moins chère.

Après 64 mois : la droite Achat ($\mathcal{C}_f$, en bleu) passe en-dessous → l'achat devient plus avantageux.

Donc à partir de 65 mois, l'option Achat est la plus avantageuse.