Exercice 4 · 20 pts

Brevet 2025 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2025

Programmes de calcul magiques

Calcul littéral · Équation · Algorithmique (Scratch)

La grande idée

Un programme de calcul devient une expression algébrique dès qu'on remplace 'le nombre choisi' par $x$. Démontrer la 'magie' = développer cette expression jusqu'à la forme attendue. Inverser le programme = résoudre une équation.

Énoncé

Partie A — Le programme de Zoé

Programme de Zoé :

  • Choisir un nombre
  • Soustraire 4
  • Multiplier par 2
  • Ajouter 8
  1. Vérifier que si on choisit 10 comme nombre de départ, on obtient 20 avec ce programme.
  2. Quel résultat obtient-on avec ce programme si on choisit $-7$ comme nombre de départ ?
  3. Zoé prétend que son programme est « magique » car, quel que soit le nombre choisi, le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?

Partie B — Le programme de Fred

Fred décide de faire son programme de calcul sur Scratch :

▸ quand 🚩 est cliqué
▸ demander « Choisir un nombre » et attendre
▸ mettre résultat à réponse × 4
▸ mettre résultat à résultat + 10
▸ mettre résultat à résultat × 5
▸ dire résultat
  1. Démontrer que si le nombre de départ est $x$, le résultat obtenu avec le programme de Fred est $20x + 50$.
  2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 75 avec le programme de Fred ?
  3. Constatant que son programme n'a rien de magique, Fred souhaite le modifier afin que le résultat soit toujours 20 fois plus grand que le nombre de départ. Recopier et compléter sur la copie une nouvelle ligne du programme pour que ce soit le cas.

Correction détaillée

Partie A

  1. $10 \xrightarrow{-4} 6 \xrightarrow{\times 2} 12 \xrightarrow{+8} \mathbf{20}$. ✓

  2. $-7 \xrightarrow{-4} -11 \xrightarrow{\times 2} -22 \xrightarrow{+8} \mathbf{-14}$.

  3. Soit $a$ le nombre de départ.

    $a \xrightarrow{-4} a - 4 \xrightarrow{\times 2} 2(a-4) = 2a - 8 \xrightarrow{+8} 2a - 8 + 8 = \mathbf{2a}$.

    Le résultat est bien le double du nombre de départ : Zoé a raison.

Partie B

  1. $x \xrightarrow{\times 4} 4x \xrightarrow{+10} 4x + 10 \xrightarrow{\times 5} 5(4x + 10)$

    $= 5 \times 4x + 5 \times 10 = \mathbf{20x + 50}$. ✓

  2. On résout $20x + 50 = 75$.

    $20x = 75 - 50 = 25$, donc $x = \dfrac{25}{20} = \dfrac{5}{4} = \mathbf{1{,}25}$.

  3. Pour avoir $20x$ au lieu de $20x + 50$, il faut soustraire 50 à la fin. La nouvelle ligne à ajouter est :

    mettre résultat à résultat − 50