Exercice 2 · 23 pts

Brevet 2025 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2025

Aquathlon — course à pied et natation

Pythagore · Thalès · Trigonométrie · Statistiques · Vitesse

La grande idée

Cet exercice enchaîne 5 outils différents (Pythagore, Thalès, trigonométrie, médiane, vitesse). Il n'y a pas de méthode magique : à chaque sous-question, on identifie la situation et on choisit l'outil qui correspond. C'est ce qu'on appelle une tâche complexe.

Énoncé

Partie A — La course à pied

Le parcours est représenté par ACDEB avec le départ au point A et l'arrivée au point B.

  • Les points A, C, B sont alignés.
  • Les points A, D, E sont alignés.
  • ADC est un triangle rectangle en A.
  • $AC = 480$ m ; $CB = 120$ m ; $AE = 250$ m ; $DE = 50$ m.

[Figure : triangle ACDEB avec angles droits en A et en C — voir le schéma plus haut.]

  1. Justifier que $AD = 200$ m.
  2. Calculer la longueur $CD$.
  3. Pour que le parcours soit validé il est nécessaire que les droites $(CD)$ et $(BE)$ soient parallèles et que la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$ soit supérieure à 20°.
    1. Les droites $(CD)$ et $(BE)$ sont-elles parallèles ?
    2. La mesure de l'angle $\widehat{ACD}$ est-elle supérieure à 20° ?
    3. Le parcours est-il validé ?

Partie B — La natation

Concernant l'épreuve de natation, il s'agit de nager une distance de 200 m.

Voici les temps de 9 élèves :

5 min 30 s ; 5 min 45 s ; 5 min 49 s ; 5 min 50 s ; 6 min ; 6 min 11 s ; 6 min 12 s ; 6 min 20 s ; 6 min 40 s.

  1. Quel est le temps médian de cette série ?
  2. Un poisson rouge nage à la vitesse de 5 km/h. Nage-t-il plus vite que l'élève le plus rapide ?

Correction détaillée

Partie A

  1. A, D, E alignés dans cet ordre, donc $AD = AE - DE = 250 - 50 = \mathbf{200}$ m.

  2. Le triangle $ADC$ est rectangle en A. Par le théorème de Pythagore :

    $DC^2 = DA^2 + AC^2 = 200^2 + 480^2 = 40\,000 + 230\,400 = 270\,400$

    $DC = \sqrt{270\,400} = \mathbf{520}$ m.

  3. a. Les points A, C, B sont alignés et A, D, E aussi. On compare les rapports :

    $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{480}{480 + 120} = \dfrac{480}{600} = \dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{200}{250} = \dfrac{4}{5}$.

    Les rapports sont égaux : par la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(CD)$ et $(BE)$ sont parallèles.

    b. Dans le triangle $ACD$ rectangle en A :

    $\tan(\widehat{ACD}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{200}{480} = \dfrac{5}{12}$

    $\widehat{ACD} = \arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right) \approx 22{,}6°$.

    22,6° > 20° ✓

    c. Les deux conditions sont satisfaites : le parcours est validé.

Partie B

  1. Il y a 9 valeurs rangées dans l'ordre croissant. La médiane est la $\dfrac{9+1}{2} = 5\text{e}$ valeur.

    La médiane est 6 min (4 temps en dessous, 4 au-dessus).

  2. L'élève le plus rapide met 5 min 30 s = $5 \times 60 + 30 = 330$ s pour parcourir 200 m.

    Sa vitesse : $v = \dfrac{200}{330} \approx 0{,}606$ m/s.

    En km/h : $0{,}606 \times 3{,}6 \approx \mathbf{2{,}2}$ km/h.

    Le poisson rouge nage à 5 km/h, soit plus de deux fois plus vite que l'élève le plus rapide.