Exercice 1 · 20 pts

Brevet 2025 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2025

Probabilités — deux urnes

Probabilités · Arithmétique

La grande idée

Une probabilité, c'est juste $\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$. Tout l'exo est l'art de bien compter les favorables selon le critère demandé : pair, premier, multiple de 6, supérieur à 20.

Énoncé

On dispose d'une urne A contenant 6 boules numérotées : 7 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30

et d'une urne B contenant 9 boules numérotées : 2 ; 5 ; 6 ; 8 ; 17 ; 18 ; 21 ; 22 ; 25.

Les boules sont indiscernables au toucher.

  1. On tire une boule dans l'urne A. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
  2. On tire une boule dans l'urne B. Justifier que la probabilité d'obtenir un nombre premier est de $\dfrac{1}{3}$.
  3. Quelle urne contient le plus grand nombre de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
  4. On tire une boule au hasard dans l'une des urnes. Démontrer que la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l'urne choisie.
  5. En repartant avec la composition initiale des urnes A et B on décide d'ajouter une boule numérotée 50 dans chacune d'entre elles. Dans ces conditions, la probabilité d'obtenir un résultat supérieur ou égal à 20 est-elle toujours égale quelle que soit l'urne choisie ?

Correction détaillée

  1. Les nombres pairs de l'urne A sont : 10, 12, 24, 30, soit 4 nombres sur 6.

    $P(\text{pair}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

  2. Dans l'urne B, les nombres premiers sont : 2, 5, 17 (3 nombres sur 9).

    $P(\text{premier}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ ✓

  3. Multiples de 6 dans A : $12 = 6 \times 2$, $24 = 6 \times 4$, $30 = 6 \times 5$ → 3 multiples.

    Multiples de 6 dans B : $6 = 6 \times 1$, $18 = 6 \times 3$ → 2 multiples.

    C'est l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6.

  4. Dans A, les nombres $\geqslant 20$ sont 24 et 30 (2 nombres) : $P_A = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

    Dans B, les nombres $\geqslant 20$ sont 21, 22, 25 (3 nombres) : $P_B = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

    Les deux probabilités sont bien égales à $\dfrac{1}{3}$. ✓

  5. Avec la boule 50 ajoutée :

    Urne A (7 boules, 3 sont $\geqslant 20$ : 24, 30, 50) : $P_A = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}428$.

    Urne B (10 boules, 4 sont $\geqslant 20$ : 21, 22, 25, 50) : $P_B = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.

    $\dfrac{3}{7} \neq \dfrac{4}{10}$ : les probabilités ne sont plus égales.