Exercice 3 · 22 pts

Brevet 2024 · Métropole — Antilles — Guyane (juillet) · 1 juillet 2024

Géométrie — cercle, Pythagore et Thalès

Pythagore · Thalès · Aires · Pourcentages

La grande idée

Le classique du brevet : un triangle dans un cercle. La réciproque de Pythagore prouve l'angle droit ($7{,}2^2 + 5{,}4^2 = 9^2$), puis Thalès exploite les parallèles. Astuce de lecture : quand un triangle est inscrit dans un cercle avec un diamètre pour côté, l'angle droit n'est jamais loin.

Énoncé

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle), on a :

  • $\mathcal{C}$ est un cercle de centre O et de rayon 4,5 cm ;
  • [AB] est un diamètre de ce cercle et D est un point du cercle ;
  • les points B, E, A sont alignés, ainsi que les points D, F, A ;
  • les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
  • $BD = 5{,}4$ cm ; $DA = 7{,}2$ cm et $AE = 2{,}7$ cm.

[Figure : cercle de centre O ; diamètre horizontal [BA] ; D point du cercle au-dessus de [BA] ; triangle ABD tracé ; E sur [BA] proche de A, F sur [DA] ; segment [EF] parallèle à (BD).]

  1. Justifier que le diamètre [AB] mesure 9 cm.
  2. Démontrer que le triangle ABD est rectangle en D.
  3. Calculer AF.
    1. Justifier que l'aire du triangle ABD est égale à 19,44 cm².
    2. Calculer l'aire du disque, arrondie au centième. Rappel : l'aire du disque est égale à $\pi \times R^2$, où $R$ est le rayon du disque.
  5. Quel pourcentage de l'aire du disque représente l'aire du triangle ABD ?

Correction détaillée

  1. [AB] est un diamètre du cercle de rayon 4,5 cm, donc $AB = 2 \times 4{,}5 = \mathbf{9}$ cm. ✓

  2. On compare $AD^2 + DB^2$ et $AB^2$ :

    $AD^2 + DB^2 = 7{,}2^2 + 5{,}4^2 = 51{,}84 + 29{,}16 = 81$ et $AB^2 = 9^2 = 81$.

    Comme $AD^2 + DB^2 = AB^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.

  3. Les points B, E, A et D, F, A sont alignés, et $(BD) \parallel (EF)$ : on applique le théorème de Thalès dans le triangle ABD :

    $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AD}$, soit $\dfrac{2{,}7}{9} = \dfrac{AF}{7{,}2}$.

    $AF = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = 0{,}3 \times 7{,}2 = \mathbf{2{,}16}$ cm.

  4. a. Le triangle ABD est rectangle en D, donc [DA] et [DB] sont ses côtés de l'angle droit :

    $\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{DA \times DB}{2} = \dfrac{7{,}2 \times 5{,}4}{2} = \mathbf{19{,}44}$ cm². ✓

    b. $\mathcal{A}_{disque} = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx \mathbf{63{,}62}$ cm² (au centième).

  5. $\dfrac{19{,}44}{63{,}62} \times 100 \approx \mathbf{30{,}6\,\%}$

    L'aire du triangle ABD représente environ 30,6 % de l'aire du disque.