Exercice 2 · 20 pts

Brevet 2024 · Métropole — Antilles — Guyane (juillet) · 1 juillet 2024

Deux programmes de calcul — Scratch et calcul littéral

Calcul littéral · Algorithmique (Scratch)

La grande idée

Remplacer « le nombre choisi » par $x$ transforme chaque programme en expression algébrique. Pour comparer deux programmes quel que soit le nombre de départ, on ne teste pas des valeurs : on développe ou factorise jusqu'à faire apparaître le lien entre les deux expressions.

Énoncé

On considère les deux programmes de calcul suivants :

Programme A :

  • Choisir un nombre
  • Prendre le carré du nombre choisi
  • Multiplier le résultat par 2
  • Ajouter le double du nombre de départ
  • Soustraire 4 au résultat

Le programme B est donné sous forme de script Scratch :

▸ quand 🚩 est cliqué
▸ demander « Choisir un nombre » et attendre
▸ mettre nombre choisi à réponse
▸ mettre Résultat 1 à nombre choisi + 2
▸ mettre Résultat 2 à nombre choisi − 1
▸ dire regroupe « Le résultat est » et Résultat 1 × Résultat 2
    1. Vérifier que, si on choisit 5 comme nombre de départ, le résultat du programme A est 56.
    2. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?
  2. On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.
    1. Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l'expression qui donne le résultat obtenu par le programme B :

      $E_1 = (x + 2) - 1$  ·  $E_2 = (x + 2)(x - 1)$  ·  $E_3 = x + 2 \times x - 1$

    2. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A.
  3. Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.

Correction détaillée

  1. a. $5 \xrightarrow{\text{carré}} 25 \xrightarrow{\times 2} 50 \xrightarrow{+\,2 \times 5} 60 \xrightarrow{-4} \mathbf{56}$. ✓

    b. Avec $-9$ : Résultat 1 $= -9 + 2 = -7$ ; Résultat 2 $= -9 - 1 = -10$.

    Le programme affiche $(-7) \times (-10) = \mathbf{70}$.

  2. a. Le programme B calcule (nombre choisi $+ 2$) $\times$ (nombre choisi $- 1$), c'est-à-dire $\boxed{E_2 = (x + 2)(x - 1)}$.

    b. Programme A : $x \xrightarrow{\text{carré}} x^2 \xrightarrow{\times 2} 2x^2 \xrightarrow{+\,2x} 2x^2 + 2x \xrightarrow{-4} \mathbf{2x^2 + 2x - 4}$.

  3. On développe le résultat du programme B :

    $(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$

    Et on factorise le résultat du programme A par 2 :

    $2x^2 + 2x - 4 = 2(x^2 + x - 2)$

    Quel que soit $x$, le résultat du programme A est bien le double du résultat du programme B. ∎