Probabilités — la roulette du casino

Probabilités

La grande idée

Tout repose sur l'équiprobabilité : 37 cases, même chance pour chacune, donc chaque probabilité vaut $\dfrac{\text{cas favorables}}{37}$. Et quand compter les favorables est pénible, on passe par l'événement contraire : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Énoncé

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros.

On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de 0 à 36. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro.

[Figure : roue de roulette avec 37 cases numérotées de 0 à 36, alternant cases noires et cases blanches. La roue comporte 18 cases noires, dont les numéros pairs sont : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 ; 28.]

Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s'arrête sur le numéro 7 est $\dfrac{1}{37}$.
Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur une case à la fois noire et paire.
1. Déterminer la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro inférieur ou égal à 6.
2. En déduire la probabilité que la bille s'arrête sur un numéro supérieur ou égal à 7.
3. Un joueur affirme qu'on a plus de 3 chances sur 4 d'obtenir un numéro supérieur ou égal à 7. A-t-il raison ?

Correction détaillée

De 0 à 36, il y a 37 numéros. La bille a la même probabilité de s'arrêter sur chaque numéro (situation d'équiprobabilité), donc chaque numéro — en particulier le 7 — a une probabilité de $\dfrac{1}{37}$. ✓
Les cases à la fois noires et paires portent les numéros 2, 4, 6, 8, 10, 20, 22, 24, 26, 28 : 10 cas favorables.

$P(\text{noire et paire}) = \dfrac{10}{37}$
a. Les numéros inférieurs ou égaux à 6 sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, soit 7 numéros.

$P(\text{numéro} \leqslant 6) = \dfrac{7}{37}$

b. « Obtenir un numéro $\geqslant 7$ » est l'événement contraire de « obtenir un numéro $\leqslant 6$ » :

$P(\text{numéro} \geqslant 7) = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}$

c. $\dfrac{30}{37} \approx 0{,}81$ et $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$. Comme $0{,}81 > 0{,}75$, on a bien $\dfrac{30}{37} > \dfrac{3}{4}$ : le joueur a raison.

Variante sans calculatrice : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{30}{40}$, et comme $37 < 40$, on a $\dfrac{30}{40} < \dfrac{30}{37}$.