Exercice 5 · 20 pts

Brevet 2023 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2023

Programmes de calcul et fonctions affines

Calcul littéral · Fonctions affines · Équations · Lecture graphique

La grande idée

Le même problème vu trois fois : deux programmes de calcul deviennent deux fonctions affines, leurs droites se croisent sur le graphique, et l'équation $-2x + 5 = 3x - 4$ donne la valeur exacte du point de rencontre. Graphique = estimation, calcul = certitude.

Énoncé

On considère les deux programmes de calcul suivants :

Programme A :

  • Choisir un nombre
  • Multiplier ce nombre par $-2$
  • Ajouter 5 à ce résultat

Programme B :

  • Choisir un nombre
  • Soustraire 5 à ce nombre
  • Multiplier le résultat par 3
  • Ajouter 11 au résultat
    1. Montrer que, si on choisit $-3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.
    2. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?
  2. En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $-2x + 5$ comme résultat avec le programme A. Montrer qu'avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x - 4$.
  3. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 5$ et $g(x) = 3x - 4$.

    [Figure : repère quadrillé ; deux droites tracées : $(D_1)$ croissante passant par $(0\,;\,-4)$ et $(D_2)$ décroissante passant par $(0\,;\,5)$ ; elles se coupent en un point d'abscisse proche de 1,8.]

    1. Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
    2. Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l'image est la même par la fonction $f$ et par la fonction $g$.
  4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.

Correction détaillée

  1. a. $-3 \xrightarrow{\times (-2)} 6 \xrightarrow{+5} \mathbf{11}$. ✓

    b. $5{,}5 \xrightarrow{-5} 0{,}5 \xrightarrow{\times 3} 1{,}5 \xrightarrow{+11} \mathbf{12{,}5}$.

  2. $x \xrightarrow{-5} x - 5 \xrightarrow{\times 3} 3(x - 5) = 3x - 15 \xrightarrow{+11} 3x - 15 + 11 = \mathbf{3x - 4}$. ✓

  3. a. $g(x) = 3x - 4$ a un coefficient directeur positif ($3 > 0$) : $g$ est croissante, c'est la droite $(D_1)$ (qui passe d'ailleurs par $(0\,;\,-4)$, son ordonnée à l'origine).

    $f(x) = -2x + 5$ a un coefficient directeur négatif ($-2 < 0$) : $f$ est décroissante, c'est la droite $(D_2)$ (ordonnée à l'origine 5).

    b. Le nombre cherché est l'abscisse du point d'intersection des deux droites : on lit $x \approx \mathbf{1{,}8}$.

  4. On résout $f(x) = g(x)$ :

    $-2x + 5 = 3x - 4$

    $5 + 4 = 3x + 2x$

    $9 = 5x$, donc $x = \dfrac{9}{5} = \mathbf{1{,}8}$.

    Vérification : $f(1{,}8) = -3{,}6 + 5 = 1{,}4$ et $g(1{,}8) = 5{,}4 - 4 = 1{,}4$ — résultat commun : 1,4. ✓