Exercice 4 · 20 pts

Brevet 2023 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2023

L'escalier — trigonométrie et Scratch

Trigonométrie · Algorithmique (Scratch)

La grande idée

Un escalier vu de profil, c'est un triangle rectangle : hauteur totale d'un côté de l'angle droit, longueur au sol de l'autre. L'angle de montée se calcule avec la tangente : $\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. Et le script Scratch ne fait que répéter le motif « une marche » : monter 17, avancer 27.

Énoncé

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur totale 272 cm.

  • La hauteur d'une marche est de 17 cm.
  • La profondeur d'une marche (pour poser le pied) est de 27 cm.

[Figure : vue de profil de l'escalier inscrite dans un triangle ABC rectangle en B — A en bas (départ), B en bas à droite, C en haut ($BC = 272$ cm est la hauteur totale) ; l'hypoténuse [AC] suit la pente des marches.]

    1. Montrer qu'il faut prévoir 16 marches pour construire cet escalier.
    2. Montrer que la longueur AB est égale à 432 cm.
  2. Pour permettre une montée agréable, l'angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre 25° et 40°.
    1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré près.
    2. L'escalier permet-il une montée agréable ?
  3. On rédige un programme Scratch pour dessiner cet escalier (1 cm réel correspond à 1 pas dans le programme). Recopier les lignes 5, 6, 7 et 9 sur la copie en les complétant.
    1  ▸ quand 🚩 est cliqué
    2  ▸ s'orienter à 90 (vers la droite)
    3  ▸ effacer tout
    4  ▸ stylo en position d'écriture
    5  ▸ répéter … fois
    6  ▸ tourner ↺ de … degrés
    7  ▸ avancer de … pas
    8  ▸ tourner ↻ de 90 degrés
    9  ▸ avancer de … pas

Correction détaillée

  1. a. $272 \div 17 = \mathbf{16}$ : il faut 16 marches de 17 cm pour atteindre 272 cm. ✓

    b. Chacune des 16 marches a une profondeur de 27 cm :

    $AB = 16 \times 27 = \mathbf{432}$ cm. ✓

  2. a. Dans le triangle ABC rectangle en B, le côté opposé à $\widehat{BAC}$ est [BC] et le côté adjacent est [AB] :

    $\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{272}{432} \approx 0{,}63$

    $\widehat{BAC} = \arctan\!\left(\dfrac{272}{432}\right) \approx \mathbf{32°}$ (au degré près).

    b. $25° < 32° < 40°$ : oui, l'escalier permet une montée agréable. ✓

  3. Le script répète le motif « une marche » : le lutin (orienté vers la droite) pivote pour monter, monte la hauteur d'une marche, repivote vers la droite, avance la profondeur d'une marche. Il y a 16 marches :

    • Ligne 5 : répéter 16 fois
    • Ligne 6 : tourner ↺ de 90 degrés
    • Ligne 7 : avancer de 17 pas (hauteur d'une marche)
    • Ligne 9 : avancer de 27 pas (profondeur d'une marche)