Exercice 2 · 20 pts

Brevet 2023 · Métropole — Antilles — Guyane (juin) · 26 juin 2023

Géométrie — rectangle, Pythagore et Thalès

Pythagore · Thalès · Aires

La grande idée

Deux réflexes de géométrie : (1) Pythagore à l'envers — quand on connaît l'hypoténuse et un côté, on isole le côté manquant ($AE^2 = BE^2 - AB^2$) ; (2) deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles — c'est souvent la clé qui débloque Thalès.

Énoncé

Sur la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) :

  • BCDE est un rectangle ;
  • BAE est un triangle rectangle en A ;
  • la perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par A coupe cette droite en H ;
  • les droites $(AE)$ et $(CD)$ se coupent en F ;
  • $AB = BC = 4{,}2$ cm et $EB = EF = 7$ cm.

[Figure : A au sommet ; B et E forment le côté supérieur du rectangle BCDE, C et D le côté inférieur ; H est sur [CD], pied de la perpendiculaire issue de A ; F est sur la droite (CD), au-delà de D.]

  1. Montrer que l'aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm².
    1. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.
    2. Calculer l'aire du triangle rectangle ABE.
    1. Montrer que les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles.
    2. Calculer la longueur AH.

Correction détaillée

  1. BCDE est un rectangle de côtés $BC = 4{,}2$ cm et $BE = 7$ cm :

    $\mathcal{A}_{BCDE} = BC \times BE = 4{,}2 \times 7 = \mathbf{29{,}4}$ cm². ✓

  2. a. Dans le triangle ABE rectangle en A, l'hypoténuse est [BE]. D'après le théorème de Pythagore :

    $BE^2 = AB^2 + AE^2$, donc $AE^2 = BE^2 - AB^2 = 7^2 - 4{,}2^2 = 49 - 17{,}64 = 31{,}36$.

    $AE = \sqrt{31{,}36} = \mathbf{5{,}6}$ cm. ✓

    b. $\mathcal{A}_{ABE} = \dfrac{AB \times AE}{2} = \dfrac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = \mathbf{11{,}76}$ cm².

  3. a. $(ED)$ est un côté du rectangle BCDE, donc $(ED) \perp (CD)$. Par construction, $(HA) \perp (CD)$ également.

    Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : $(ED) \parallel (HA)$.

    b. Les droites $(AE)$ et $(HD)$ sont sécantes en F, avec $(HA) \parallel (ED)$. D'après le théorème de Thalès :

    $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{ED}{AH}$ avec $FA = FE + EA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6$ cm et $ED = BC = 4{,}2$ cm.

    $\dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{AH}$, donc $AH = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7} = \mathbf{7{,}56}$ cm.